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高中数学教学中的以"变"应"变"

作者: 未知
何老师通过高三多年的摸索与实践,认为行之有效的方法就是在高三复习中,首先改变教师自己的角色,走进题海而让学生走出题海,以“变”应“变”,通过合理恰当地选用变式教学,把互相关联的知识通过变式题型融合在一起,使学生深刻理解所学知识体系,识别问题的本质,这样运用起来就会得心应手。

何老师的变式教学实例: 
下面根据何老师自己的教学实例从第一轮复习的“基础知识复习课”、“题型复习课”;第二轮复习的“知识方法专题课”及“试卷讲评课” 等角度,谈谈如何在高三复习课中应用变式教学培养学生的思维能力,提高复习效率。

(一).在基础复习课中应用变式教学

【示例1】,在进行“直线的斜率”这个复习时,可先复习“斜率”的定义:倾斜角不是直角的直线,它的倾斜角的正切值等于这条直线的斜率.特别强调定义中的两要点:倾斜角不能是直角,倾斜角的正切值.然后给出如下问题,以明确直线的斜率与其相关概念的逻辑关系,从而使学生能掌握斜率这个定义。

判断下列语句的对或错,并说明理由:

1:所有直线都有倾斜角,所有直线都有斜率.(定义正、反理解)
此问题能让学生认识到:倾斜角为90度的直线无斜率,斜率是有限制条件的定义,使用时要注意。

2:直线的斜率为http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835219334.gif=-1,则此直线的倾斜角为-45.(逆向)
此问题能让学生明白:直线的斜率和直线的倾斜角不是一一对应的,在由斜率求倾斜角时,要注意角的取值。

3:求过点(1,1)且与圆(x-2)2+(y-4)2=1相切的直线的方程.(定义应用)
有的学生在解这个题目时只得到一条直线,会忽略了直线的斜率不存在时情况。
通过这组练习,学生可深刻理解直线的斜率这个概念及其与倾斜角的关系和运用斜率时应注意的问题。

(二).在题型复习课中应用变式教学 

1. 变换条件达到一题多变、触类旁通 
【示例2】原型: 将函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835210129.gif的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,求所得图象的函数表达式. 
解:将函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835210129.gif中的x换成x+1,y换成y-1得http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835522042.gif 
变题1:作出函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835522003.gif的图象 
解: 函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835522003.gif=http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835526562.gif,它是由函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835525685.gif的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位得到.图象为: 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316579061021006.jpg 
变式2:求函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835522003.gif的单调递增区间 
解:由图象知 函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835522003.gif的单调递增区间为:http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835687998.gif 
变式3:求函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835681595.gif的单调递增区间 
解:由http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835681119.gif 得http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835683747.gif 所以函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835681595.gif的单调递增区间为http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835686862.gif 
变式4:求函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835848498.gif的单调递增区间 
解: 由http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835842122.gif,所以函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835848498.gif的单调递增区间 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835845298.gif 
变式5 设(a,b)与(c,d)都是函数f(x)的单调区间, http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835840522.gifhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835848629.gifhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835994376.gifhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835997464.gif的大小关系为( ) 
(A)http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835997124.gif(B)http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835992955.gif(C)http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835990436.gif(D)不能确定 
解 :构造函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576835210129.gif它在http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576836154714.gif上都是增函数,但在http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576836155986.gif上无单调性,故选Dhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576836156104.gif 
变式6:讨论函数http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576836151871.gifhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576836154136.gif上的单调性. 
解:http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576836152027.gifhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576836316440.gif的图象知 ,当 http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576836310994.gif时在上是增函数;当http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576836317722.gif时在上为减函数 
通过学生对课前段的知识梳理和这几道变式题的自主探究,可以使学生进一步理解图像变换、函数单调性、单调区间的判断等知识,加深学生对方法的理解力,培养了学生探究学习的意识.
(三).在知识方法专题课中应用变式教学 
经过第一轮的复习学生已经对于知识有了相当的了解以及理解程度,因此第二轮复习就应重在知识和方法专题的复习.在知识专题复习中可以进一步巩固第一轮复习的成果,加强各知识板块的综合.尤其注意知识的交会点和结合点,进行必要的针对性专题复习.在第二轮的知识方法专题课进行“变式教学”,不但能开阔学生的解题思路,而且启发学生建立了题目之间的联系,使学生在做题时做到“遇到新题,回忆旧题,多思考,多联想、多变换、找出规律”.从而培养了学生的应变能力和创造性思维能力。

【示例4】.如对一些不等式恒成立、有解、无解等问题,学生往往会混淆。

例1:若不等式|x-4|+|x-3|<a在x∈R上解集不是空集.则实数a的取值范围是( ) 
A.(0,1) B.http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837097460.gif0,1http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837090235.gif C.(1,+∞) D.http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837097079.gif1,+∞http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837249907.gif 
有以下两种观点:(1)a大于不等式左边的最小值; 
(2)a大于不等式左边的最大值. 
到底谁是谁非? 
析:不等式|x-4|+|x-3|<a在x∈R上解集不是空集 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif至少有一个x使不等式左边的值小于a; 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif不等式左边的最小值小于a. 
变式1:不等式|x-4|+|x-3|<a在x∈R上解集是空集,则实数a的取值范围是 . 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif不存在x使不等式左边的值小于a; 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif不等式左边的值都不小于a; 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif不等式左边的最小值大于或等于a. 
变式2:不等式|x-4|+|x-3|>a在x∈R上恒成立,则实数a的取值范围是 : http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif无论x取何实数,不等式左边所有的值都大于a; 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif不等式左边的最小值大于a. 
通过以上两种变式及解答,学生可以体会到在不同的设问下,存在着解答上结构的相似性与表达上的细微细微差别,对题目的特点有一种感性的认识. 
变式3:不等式|x-4|-|x-3|>a在x∈R上恒成立,则实数a的取值范围是: http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif无论x取何实数,不等式左边所有的值都大于a; 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif不等式左边的最小值大于a. 
变式4:不等式x2+2x<a2+a-1在x∈[-2,2]上恒成立,则实数a的取值范围是: http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif无论x取[-2,2]中的任何实数,不等式左边所有的值都小于a2+a-1; 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837248416.gif不等式左边的最大值小于a2+a-1. 
还有例如:http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837243775.gif 的定义域为R,求m的取值范围 
解:由题意http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837247185.gif在R上恒成立 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837246621.gif且Δhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837400001.gif,得http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837407299.gif 
变式1:http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837400583.gif的定义域为R,求m的取值范围 
解:由题意http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837406257.gif在R上恒成立 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837246621.gif且Δhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837404592.gif,得http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837562367.gif 
变式2:http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837566765.gif的值域为R,求m的取值范围 
解:令http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837560705.gifhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837561853.gif,则要求t能取到所有大于0的实数, 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837567358.gifhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837717262.gif时,t能取到所有大于0的实数 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837718039.gif时,http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837713002.gif且Δhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837719655.gifhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837719826.gif 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837878023.gif 
变式3:http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837871128.gif的定义域为R,值域为http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837877597.gif,求m,n的值 
解:由题意,令http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837878479.gif,得http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837877001.gif 
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576838025646.gif时,Δhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837719655.gifhttp://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576838025768.gif
http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576837567358.gif1和9时http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576838025818.gif的两个根 
*http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576838026211.gif 
*http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576838181504.gif时,http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576838189828.gif http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576838184712.gif,也符合题意 
*http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/jxyj/201103/W020110316576838026211.gif 
通过这几个变式,可以帮助学生对题目本质的理解,从而对题目的理解从感性上升到理性。

三、结束语 
上诉教学实例在真正的教学中多不甚数,感兴趣的同学可以来听听我的。,只有教师真正实现了“变“,才能培养学生形成变式思维,使学生解题的实质发生变化,成为基本问题的各种各样的变化形式,对教材中的例习题进行变式,使之貌似原题,又不同于原题,并拾级而上,让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题,加深对知识内涵、外延的理解,以求在变化中拓宽思想激发思维;使学生感到轻松、愉快,在学生的脑海中留下了深刻印象。
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